Проектно-вычислительный комплекс Structure CAD

         

Проверка сходимости для некоторых моделей


                Были проведены сопоставительные расчеты шарнирно опертой квадратной пластинки загруженной по всей площади равномерно распределенной нагрузкой. Расчеты выполнялись при четырех сетках конечных элементов — 4´4, 8´8, 16´16 и 24´24 (рис.20.1).

Рис.20.1. Изополя изгибающих моментов для расчетных схем

с различными сетками конечных элементов

                В таблице 20.2 приведены результаты по перемещениям, изгибающим моментам и поперечным силам для конечных элементов различного типа, полученные на упомянутых сетках, эти же данные проиллюстрированы на графиках, представленных на рис.20.2.

Таблица 20.2

Перемещения центра плиты при сетке:

Тип КЭ



4x4

8x8

16x16

24x24

11/41

0,0180329

0,0172754

0,0170823

0,0170453

20/50

0,0166168

0,0169137

0,0169918

0,0170051

12/42

0,0161403

0,0168034

0,0169658

0,0169938

 

Момент в центре плиты:

М -11/41

0,04781

0,04509

0,04443

0,04443

М -20/50

0,03991

0,04313

0,04393

0,04408

М -12/42

0,04787

0,04528

0,04432

0,04448

 

Поперечная сила на краю:

Q -11/41

0,22

0,28

0,31

0,32

Q -20/50

0,37

0,4

0,43

0,44

Q -12/42

0,24

0,31

0,33

0,34

а)

 

б)

 

в)

                Обозначения:

                               

Рис.20.2. Сходимость результатов при равномерной нагрузке: а ? по прогибам, б ? по моментам, в ? по поперечным силам

Как видно из таблицы и рисунка, практическая сходимость имеет место для прогибов и изгибающих моментов при использовании конечных элементов всех типов, а для поперечных сил элементы 11-го типа дают значения, заметно отличающиеся от величин, полученных с использованием других конечных элементов. Отметим, что элемент типа 20/50 был использован в схеме, где он присоединялся только к четырем узлам, хотя имеется возможность ввести узлы на его сторонах (всего до восьми узлов). Контрольные расчеты при такой схеме использования показали, что точность результатов существенно возрастает и они приближаются к данным, получаемым на сетках вдвое большей густоты. Например, для сетки элементов 8х8 прогиб равнялся 0,01701, изгибающий момент ? 0,0442 и поперечная сила ? 0,278.


В другой серии численных экспериментов, когда та же пластинка была загружена сосредоточенной силой, результаты, представленные в таблице 20.3 и на рис.20.3, оказываются менее оптимистичными. Здесь замедляется скорость практической сходимости по моментам, и еще более существенно ? по поперечным силам, значения которых взяты в точке, расположенной на расстоянии четверти толщины от центра пластинки. По-видимому для поперечных сил вообще не следует брать во внимание значения для точек, столь близко расположенных около места приложения сосредоточенной нагрузки. Более детально этот вопрос анализируется ниже.

Таблица 20.3

 

Перемещения центра плиты при сетке:

Тип КЭ

4x4

8x8

16x16

24x24

11/41

0.511522

0.494164

0.488470

0.487183

20/50

0.466266

0.480460

0.484425

0.485222

12/42

0.432918

0.470046

0.481375

0.483493

 

Момент в центре плиты:

М -11/41

2.61566

3.27276

3.93364

4.32066

М -20/50

2.31761

3.04494

3.72290

4.11309

М -12/42

1.89259

2.52465

3.17713

3.56252

 

Поперечная сила около центра:

Q -11/41

7.26

14.58

29.18

43.77

Q -20/50

6.50

13.31

26.81

40.26

Q -12/42

11.37

25.59

53.21

80.42

а)



б)



в)



                Обозначения:

                               


Рис.20.3. Сходимость результатов при нагружении сосредоточенной силой: а ? по прогибам, б ? по моментам, в ? по поперечным силам

                Следует отметить, что более быстрая сходимость результатов для некоторых типов конечных элементов дается за счет заметного увеличения времени счета. Поэтому следует сопоставлять потери времени от использования этих элементов с потерями на решение задачи на более густой сетке при использовании элементов другого типа.



20.1.4. Обход особых точек

Вблизи особых точек, таких, где имеется резкая концентрация напряжений, применение конечных элементов (равно как и других методов дискретизации) обычно затруднено, особенно в представлении поля напряжений. Приходится резко сгущать сетку конечных элементов и существенно увеличивать размер задачи.

Однако упомянутое сгущение сетки может и не привести к результату (см., например рис. 20.2.в), что подталкивает к дополнительному анализу ситуации. Одним из наиболее распространенных суждений является следующее ? сосредоточенная сила есть не существующая в природе абстракция и если бы она была создана, то, проткнув бы конструкцию любой прочности и не встречая сопротивления, унеслась бы в бесконечность. Выходит, что эта идеализация создает искусственную трудность, в борьбе с которой можно совершать героические подвиги, но практическая значимость таких подвигов весьма относительна. Следовало бы помнить о том, каким образом фактически реализована в конструкции та сила, которая идеализируется в форме сосредоточенной, тогда могут отпасть и вопросы о сходимости конечно-элементного решения к точному.

Мы рассмотрим указанную проблему на примере расчета плиты на упругом основании, к которой приложена сосредоточенная сила. Этот пример является часто используемой идеализацией при расчете фундаментных плит (сосредоточенной силой имитируется нагрузка, передаваемая колонной), аэродромных и дорожных покрытий (здесь сосредоточенная сила имитирует давление колеса) и в других практически важных случаях.


Содержание раздела